Fraktale Teil 1 – 1. Iteration und Selbstähnlickeit

Die folgenden vier Posts des Teil 1 von Fraktalen sollen Interessierten einen Einstieg in die fraktale Geometrie ermöglichen. Sie basieren auf den Lectures von Benoit Mandelbrot, die dieser an der Yale University gehalten hat. Den Link zum vollständigen Kurs finden Sie jeweils am Ende des Posts.

Die einfachsten Fraktale werden durch Iteration hergestellt. Eine Iteration ist ein Schritt, eine Aktion oder einen Prozess bezeichnet, der mehrmals wiederholt wird um ein bestimmtes Ziel zu erreichen.

Ein Beispiel:

Beginne mit einem schwarzen Dreieck und wiederhole dann folgenden Prozess:

  1. Verbinde die Seitenmitten jedes ausgefüllte (schwarzen) Dreiecks;
  2. Entferne das mittlere Dreieck; und
  3. Gehe zu 1.

Oder grafisch für die ersten Runde, d.h. die erste Iteration:

Grafische Darstellung der 1. Iteration des Prozesses

Grafische Darstellung der 1. Iteration des Prozesses

Den Prozess kann man beliebig wiederholen. Es entsteht das Sierpinski-Dreieck als Resultat:

Animation der Iterationen - Resultat: Sierpinski-Dreieck

Animation der Iterationen - Resultat: Sierpinski-Dreieck

Betrachten wir uns nun das entstandenen Sierpienski-Dreieck etwas genauer. Es besitzt die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit, d.h. es ist aus kleineren Teilen zusammengesetzt, die eine Kopie von grösseren Teilen darstellen.

Selbstähnlichkeit des Sierpinski-Dreiecks

Selbstähnlichkeit des Sierpinski-Dreiecks

Man kann den oben genannten Prozess auch variieren. Zum Beispiel

Beginne mit einem schwarzen Dreieck und wiederhole dann folgenden Prozess:

  1. Verbinde die Seitenmitten jedes ausgefüllte (schwarzen) Dreiecks;
  2. Rotiere das mittlere Dreieck um ein vielfaches von 90°/oder reflektiere es; und
  3. Gehe zu 1.

Es entstehen so weitere, selbstähnliche Formen. Zum Beispiel, ein ‘Dendrit’:

Mit Farbe wird die Struktur deutlicher:

Der Dendrit besteht aus drei Kopien von sich selbst.

(Quelle: Benoit Mandelbrot†-Yale)

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