Fraktale Teil 2 – 1. Ineffektive Wege Fraktale zu messen: Länge

Die Grafik zeigt die Koch-Kurve und einige ihrer Verwandten. Von oben Links bis unten Rechts wird das Bild ‘unschärfer’ (fuzzy). Gibt es einen Weg die Differenz zwischen den Bildern zu quantifizieren?

Koch-Kurve und ihre Verwandten

Koch-Kurve und ihre Verwandten

Man könnte es mit dem Konzept der Länge versuchen. Eine bekannte Methode die Länge einer Kurve zu messen ist, die Kurve mit Liniensegmenten zu approximieren und nach einem Grenzwert zu suchen, während die Liniensegmente kleiner und kleiner werden.

Dies funktioniert fantastische zum Beispiel beim Kreis vom Radius, r, von 1:

Annäherung des Kreisumfangs durch immer kürzere Liniensegmente

Annäherung des Kreisumfangs durch immer kürzere Liniensegmente

Es gibt hier tatsächlich einen solchen Grenzwert. Nehmen wir an die Länge der Segmente sei d, dann ist die Länge, L, des Kreises gegeben durch L(d)=N*d.

Länge der Kurve gemessen mit 20 bis 100 Liniensegmenten

Länge der Kurve gemessen mit 20 bis 100 Liniensegmenten

Der Wert für L(d) nähert sich tatsächlich einem Grenzwert, nämlich 6.28… . Wie wir ja wissen beträgt der Umfang eines Kreises vom Radius 1 2π ≈ 6.2832.  Natürlich sind noch weitere Schritte nötig um eine wirklich gute Approximation zu erhalten. Aber das Prinzip funktioniert beim Kreis.

Versuchen wir mit dieser Methode die Länge der Koch-Kurve zu messen. Als erste Näherung approximieren wir die Koch-Kurve durch ein Liniensegment der Länge L0 = 1 (Meter oder was auch immer). Jedenfalls ist klar, dass die Länge der Koch-Kurve grösser als 1 ist:

Erste Approximation der Länge der Koch-Kurve

Erste Approximation der Länge der Koch-Kurve

Fügen wir nun drei weitere Punkte zu den ursprünglichen zwei (End)Punkten hinzu, und erhalten vier Liniensegmente, jedes von der Länge ⅓. Wir erhalten nun als zweite Approximation eine Länge L1 = 4/3.

Länge der Koch-Kurve in zweiter Approximation

Länge der Koch-Kurve in zweiter Approximation

Nun fügen wir zwischen jedem Punkt weiter drei Punkte ein und wir erhalten sechzehn Liniensegmente, jedes mit einer Länge von 1/9. In dritter Approximation hat die Kurve nun eine Länge von L2=16/9= (4/3)2.

Länge der Koch-Kurve in dritter Approximation

Länge der Koch-Kurve in dritter Approximation

Die Länge der Koch-Kurve ist auch hier wieder länger als 16/9. Vielleicht sieht man das allgemeine Muster bereits: Ein Grenzwert wird nicht erreicht.

Länge der Koch-Kurve in n-ter Approximation

Länge der Koch-Kurve in n-ter Approximation

Die Länge der Koch-Kurve ist länger als Ln, also grösser als jede Zahl. Nicht nur die Koch-Kurve hat unendliche Länge, sondern entlang der Kurve gemessen, beträgt die Länge zwischen zwei Punkten ebenfalls unendlich.

Wir sehen also, Länge ist ein Mass mit dem sich die Koch-Kurve und ihre Verwandten nicht in den Griff kriegen lassen.

(Quelle: Benoit Mandelbrot†-Yale)

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