Fraktale Teil 2 – 2. Ineffektive Wege Fraktale zu messen: Fläche

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Hilbert entwarf eine Kurve, die so stark mäandriert, dass sie das Einheitsquadrat ausfüllt. Die ersten sechs Schritte zu ihrer Konstruktion sehen Sie hier:

Hilberts Kurve die eine Ebene ausfüllt

Hilberts Kurve die eine Ebene ausfüllt

Also kann eine Kurve, die wir als 1-dimenisonales Objekt betrachten, so gewunden sein, dass sie ein Quadrat ausfüllt, welches wir als 2-dimensionales Objekt betrachten. Vielleicht gehört die Koch-Kurve ja zu dieser Kategorie? Wir können es ja probieren.

Wir bedecken hierzu die Koch-Kurve mit einem gleichschenkligen Dreieck – weil sich dies durch die Form der Koch-Kurve anbietet – und versuchen so die Fläche der Koch-Kurve anzunähern.

Erste Approximation  der Fläche  der Koch-Kurve

Erste Approximation der Fläche der Koch-Kurve

Die Länge der Grundseite ist 1 und die Fläche A0 = (√3)/12. Gewiss ist die Fläche, welche die Koch-Kurve bedeckt kleiner als A0.

In der zweiten Approximation ersetzen wir dieses eine Dreieck mit vier kleineren Dreiecken. Bei jedem dieser Dreiecke wurde die Grundseite und die Höhe auf 1/3 gekürzt. Die Fläche eines Dreiecks ist somit 1/9 des ursprünglichen Dreickecks.

Zweite Approximation der Fläche der Koch-Kurve

Zweite Approximation der Fläche der Koch-Kurve

Die Fläche der Summe der Dreiecke ist demnach A= (√3/12)*(4/9).

In der dritten Approximation ersetzen wir jedes Dreieck durch vier kleiner Dreiecke, welche wiederum die Grundlinie und Höhe auf 1/3 des vorherigen Dreiecks reduziert haben un deren Fläche demnach wiederum 1/9 des vorigen beträgt.

Dritte Approximation der Fläche der Koch-Kurve

Dritte Approximation der Fläche der Koch-Kurve

Die Fläche der Summe der Dreiecke ist nun A2 = ((√3)/12)*(16/81) = ((√)/12)*(4/9)2.

N-te Approximation der Fläche der Koch-Kurve

N-te Approximation der Fläche der Koch-Kurve

Die Fläche der Koch-Kurve strebt also gegen Null. Die Fläche ist demnach ebensowenig ein Mass um die Koch-Kurve zu beschreiben, wie die Länge.

(Quelle: Benoit Mandelbrot†-Yale)

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