Fraktale Teil 2 – 3. Box-Count Dimension

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Wir sahen, dass weder die Länge der Koch-Kurve, die gegen unendlich strebt, noch die Fläche der Koch-Kurve, die gegen Null strebt, sinnvolle Grössen sind um die Koch-Kurve zu beschreiben. Ein allgemeinerer Ansatz der Messung wird uns zur Idee der Box-Count (etwa: Quadratzähl- oder Würfelzähl-Dimension, auch unter dem Namen Minkowski-Dimension bekannt).

Anstelle dass wir die Koch-Kurve mit Liniensegmenten oder mit Dreiecken approximieren, verwenden wir Quadrate.

Messen der Koch-Kurve mit Quadraten der Seitenlänge r

Messen der Koch-Kurve mit Quadraten der Seitenlänge r

Gewiss werden kleinere Quadrate mehr Einzelheiten auffangen und wird uns eine bessere Beschreibung der Koch-Kurve liefern. Wenn wir N(r) Quadrate der Seitenlänge benötigen um die Koch-Kurve abzudecken, dann approximieren

  • N(r)*r die Länge; und
  • N(r)*rdie Fläche der

Koch-Kurve. Die Art wie N(r) sich mit r ändert sagt uns etwas über die Komplexität der Form.

Ist das Objekt, d.h. die Form ein-Dimensional, wie zum Beispiel das Liniensegment, und bedecken wir es mit immer kleiner-werdenden Quadraten, ergibt sich folgendes Bild:

Box-Count Dimension eines Liniensegmentes

Box-Count Dimension eines Liniensegmentes

Ist das Objekt zwei-Dimensional, so bedecken wir ein (ausgefülltes) Quadrat mit immer kleiner werdenden Quadraten, so erhalten wir:

Box-Count Dimension eines (ausgefüllten) Quadrates

Box-Count Dimension eines (ausgefüllten) Quadrates

Wie hängt nun N(r) von r ab? Ist die Form

  • 1-Dimensional, wie zum Beispiel ein Liniensegment, haben wir N(r) = 1/r erhalten;
  • 2-Dimensional, wie zum Beispiel ein (ausgefülltes) Quadrat, haben wir N(r) = (1/r2) erhalten; und
  • 3-Dimensional, wie zum Beispiel ein (ausgefüllter) Würfel, erwarten wir N(r) = (1/r3).

Für komplizierter Formen wir das Verhältnis zwischen N(r) und 1/r  nicht so klar.

In der Natur werden viele Zusammenhänge mit Hilfe von Potenzgesetzen beschrieben. Nehmen wir nun an, dass hier N(r) näherungsweise k*(1/r)d, dann können wir d (die Dimension), bestimmen, indem wir beidseits logarithmieren:

Log(N(r)) = Log(k) + Log((1/r)d) = d⋅Log(1/r) + Log(k)

Lösen wir nach d auf und bestimmen den Grenzwert mit r → 0, so erhalten wir:

db = limr → 0Log(N(r))/Log(1/r)

Existiert der Grenzwert, so nennen wir ihn die ‚Box-Count Dimension, db, der Form‘. Möglicherweise konvergiert diese aber nur langsam gegen den Grenzwert.

Ein anderer Ansatz ist, dass man sich vor Augen führt, dass

Log(N(r)) = d⋅Log(1/r) + Log(k)

die Gleichung einer Geraden, mit Steigung d an y-Achsenabschnitt Log(k), darstellt. Stellt man dies nun grafisch mit Log(N(r)) gegenüber Log(1/r) dar, so liegen die Punkte näherungsweise auf einer Geraden mit Steigung db

Dies ist der log-log Ansatz um die Quadratzähl-Dimension zu finden.

Für das Sierpinski-Dreieck ergibt sich dadurch folgendes:

Box-Count Dimension des Sierpinski-Dreiecks

Box-Count Dimension des Sierpinski-Dreiecks

Oder mit log-log Plot:

Box-Count Dimension des Sierpinski-Dreiecks mit log-log Plot

Box-Count Dimension des Sierpinski-Dreiecks mit log-log Plot

Für das Sierpinski-Dreieck ergibt sich deshalb eine Box-Count Dimension von annähernd 1,58996:

db = limrn→0Log(N(rn)) / Log(1/rn)
= limn→∞Log(N(rn)) / Log(1/rn)
= limn→∞Log(N((1/2)n)) / Log(1/((1/2)n))
= limn→∞Log(3n) / Log(2n)
= limn→∞(n⋅Log(3)) / (n⋅Log(2))
= Log(3) / Log(2) ≈ 1.58996

Und für die Koch-Kurve erhalten wir:

Box-Count Dimension der Koch-Kurve

Box-Count Dimension der Koch-Kurve

Oder in Zahlen:

db = limrn→0Log(N(rn)) / Log(1/rn)
= limn→∞Log(N(rn)) / Log(1/rn)
= limn→:∞Log(N((1/3)n)) / Log(1/((1/3)n))
= limn→∞Log(3⋅4n-1) / Log(3n)
= limn→∞((n-1)⋅Log(4) + Log(3)) / (n⋅Log(3))
= limn→∞(n⋅Log(4) – Log(4) + Log(3)) / (n⋅Log(3))
= limn→∞(n⋅Log(4))/(n⋅Log(3)) + (-Log(4) + Log(3))/(n⋅Log(3))
= Log(4)/Log(3) ≈ 1.26186

Für selbstähnliche Fraktale, wie die Koch-Kurve und das Sierpinski-Dreieck vereinfacht sich die Berechnung der Box-Count Dimension erheblich, wenn man die Grösse der Quadrate als Potenzen des Skalierungsfaktors, d.h. 1/3 für die Koch-Kurve und 1/2 für das Sierpinski-Dreieck, wählt.

Wie wir sahen, kann das Sierpinski-Dreieck durch 3n Quadrate der Seitenlänge 1/2n abgedeckt werden und die Box-Count Dimension ist deshalb

db = limn → ∞Log(3n)/Log((2n))

= limn → ∞(nLog(3))/(nLog(2))

= Log(3)/Log(2).

Das n verschwindet, was kein Zufall, sondern ist die Konsequenz der selbstähnlichen Skalierung. Dies führt uns zur Definition der Similaritäts-Dimension für eine selbstähnlich Form, die aus N Kopien von sich selbst besteht, die einen Skalierungsfaktor von 1/r haben. Die Similaritäts-Dimension ist dann

ds = Log(N)/Log(1/r).

(Quelle: Benoit Mandelbrot†-Yale)

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