Fraktale Teil 3 – 1. Komplexe Zahlen

Nachdem wir in den Teilen 1 und zwei Fraktale und wie sie generiert werden kennengelernt haben und bevor wir uns solchen Dingen wie Mandelbrotmengen und Juliamengen zuwenden können. müssen wir uns ein wenig mit komplexen Zahlen beschäftigen.

Die reellen Zahlen sind uns allen bekannt. Es sind dies alle Zahlen, denen wir tagtäglich begegnen, wie zum Beispiel 1, oder -1, ¼, oder π.

Eine einfache Gleichung bringt uns aber enorme Probleme. Was ist die Lösung von:

x²+1 = 0?

Beim Auflösen sehen wir, dass x²=-1 wird was schliesslich zu x=±√-1 ergibt. Nun hat aber die √-1 unter den reellen Zahlen keine Lösung.

Findige Mathematiker haben das Problem gelöst indem sie deklarierten, die Lösung der obigen Gleichung sei, i=√-1 mit i²=-1 und nannten i die imaginäre Einheit.

Daraus wurde dann die komplexe Zahl, z, definiert mit

z = a + b*i

a,b sind dann reelle Zahlen und i die  imaginäre Einheit. Dabei wir a der Realteil, oder Re(z), genannt, und b der Imaginärteil, oder Im(z). Es gilt also Re(z)=a und Im(z)=b.

Beispiel: 8.32 + 3i ist eine komplexe Zahl mit Re(z)=8.32 und Im(z)=3.

Komplexe Zahl, dargestellt als Vektor in der komplexen Ebene mit kartesischen Koordinaten

Komplexe Zahl, dargestellt als Vektor in der komplexen Ebene mit kartesischen Koordinaten

Komplexe Zahlen können grafisch in einer (komplexen) Ebene dargestellt werden. So wird die komplexe Zahl zu einem Vektor mit a gleich der x- und b gleich der y-Koordinate.

Die komplexe Ebene heisst auch z-Ebene oer Argand Ebene, nach Jean-Robert Argand.

Vektoren sind durch ihren Betrag und ihre Richtung charakterisiert. Deshalb wird für die Darstellung einer komplexen Zahl in der z-Ebene oft auch eine andere Form der Darstellung gewählt, nämlich die sogenannte Polarform.

Komplexe Zahl dargestellt als Vektor in der komplexen Ebene mit Polarkoordinaten

Komplexe Zahl dargestellt als Vektor in der komplexen Ebene mit Polarkoordinaten

Dabei ist dann r die Länge des Vektors und φ seine Richtung.

dabei ist x = r*cosφ und y = r*sinφ oder

z = r(cosφ + i*sinφ) oder nach Euler: z = r*e

Man kann mit komplexen Zahlen auch rechnen und Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Divisionen durchführen.

Wir definieren aber zuerst die zu z komplex-konjugierte Zahl z̅ (gesprochen z-quer oder z-Dach) als z = x +iy und z̅ = x – iy und bemerken, dass

Re(z) =1/2(z + z̅ ) und Im(z) = 1/2i(z – z̅ ) ist.

Wegen z = r*e und z̅ =  r*e-iφ ist z*z̅  = r²* e*e-iφ = r2*e+iφ – iφ = r2*e0 = r2*1 = r2.

Nach Phytagoras ist aber r² = a² + b² (oder  r² = x² + y²) und somit ist z*z̅  = a² + b². Ziehen wir daraus die Quadratwurzel so erhalten wir √ z*z̅ = √(a² + b²) oder den Betrag (d.h. die Länge) von z (und z̅) :

|z| = √(a² + b²)

Wie man mit komplexen Zahlen rechnet, erfahren Sie hier. Erwähnt seien hier die Addition, Subtraktion und Multiplikation anhand von Rechenbeispielen:

Addition: (3 + 2i) + (5 + 5i) = (3 + 5) + (2 + 5)i = 8 + 7i

Subtraktion: (5 + 5i) − (3 + 2i) = (5 − 3) + (5 − 2)i = 2 + 3i

Multiplikation: (2 + 5i)*(3 + 7i) = (2*3  – 5*7) + (2*7+ 5*3)i = -29 + 29i

(Quelle: Benoit Mandelbrot†-Yale)

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