Fraktale Teil 3 – 4. Mandelbrotmengen

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Mandelbrotmenge

Mandelbrotmenge

Die Mandelbrotmenge wir mit der exact gleichen Formel generiert, wie die Juliamenge, nämlich

zn+1 = zn2 + c

Der Unterschied liegt darin, dass wir nun nicht einzelne zn aus einem Intervall zur Berechnung herangezogen werden, sondern die c.  Wir beginnen mit z0 = 0 und testen die c jeweils darauf ob die Folge ins Unendliche strebt. Der Test dafür ist wieder der gleiche, wie bei der Juliamenge. Überschreitet der Betrag von zn+1 auch nach der maximalen Iterationstiefe nicht den Wert 2, so gehört er zur Mandelbrotmenge und wird schwarz dargestellt. Ansonsten gehört er nicht zur Mandelbrotmenge und die Farbe richtet sich nach der erreichten Iterationstiefe.

Auch hier sind wir wieder am Rand (der Randregion) interessiert, welcher so aussieht:

Der Rand der Mandelbrotmenge

Der Rand der Mandelbrotmenge

Wie komplex diese Randregion ist kann an erkennen, wenn man das Bild vergrössert. Man findet dabei winzige Kopien der ganzen Menge, von denen wiederum jede mit winzigen Kopien der ganzen Menge, und so weiter, umgeben ist. Das hat kein Ende.

Während bei der Koch-Kurve und beim Sierpienski-Dreieck (siehe Teil 1) die kleineren Kopien exakt wie die ganze Form aussehen, sind die winzigen Kopien der Mandelbrotmenge leicht verzerrt und mit Mustern umgeben die für jede Kopie einmalig sind.

Klicken um die Animation zu sehen

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Diese unendlich-vielen winzigen Kopien sind alle miteinander verbunden (Beweis von Douady und Hubbard), was man allerdings in den Computergrafiken nicht ohne weiters sieht.

Es ist auch hier nicht vorhersehbar, welcher Punkt noch zur Mandelbrotmenge gehört und welcher nicht, auch wenn sie noch so nahe beisammen sind.

Dies führt uns zu chaotischen Systemen. Das sind dynamische Systeme, die empfindlich auf noch so kleine Änderungen in den Anfangsbediungungen reagieren. Auch kleinste Änderungen in den Anfangsbediungungen können zu extrem unterschiedlichen Resultaten führen. Solche Systeme sind determinitisch, d.h. deren zukünftiges Verhalten ist vollständig durch die Anfangsbedingungen bestimmt ohne irgendwelchen zufälligen Elemente.
Obwohl diese Systeme deterministisch sind, sind sie in der Regel nicht vorhersagbar. Diese Eigenschaft wird deterministisches Chaos, oder einfach Chaos genannt.
Zu solchen Systemen gehören zum Beispiel das Wetter, aber auch die Finanzmärkte (sagen einige, andere bestreiten dies und behaupten, Finanzmärkte beruhten auf Wahrscheinlichkeiten und Zufällen).

(Quelle: Benoit Mandelbrot†-Yale)

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