Fraktale Teil 3 – 4. Mandelbrotmengen

< Fraktale Teil 3 – 3. Juliamengen

Mandelbrotmenge

Mandelbrotmenge

Die Mandelbrotmenge wir mit der exact gleichen Formel generiert, wie die Juliamenge, nämlich

zn+1 = zn2 + c

Der Unterschied liegt darin, dass wir nun nicht einzelne zn aus einem Intervall zur Berechnung herangezogen werden, sondern die c.  Wir beginnen mit z0 = 0 und testen die c jeweils darauf ob die Folge ins Unendliche strebt. Der Test dafür ist wieder der gleiche, wie bei der Juliamenge. Überschreitet der Betrag von zn+1 auch nach der maximalen Iterationstiefe nicht den Wert 2, so gehört er zur Mandelbrotmenge und wird schwarz dargestellt. Ansonsten gehört er nicht zur Mandelbrotmenge und die Farbe richtet sich nach der erreichten Iterationstiefe.

Auch hier sind wir wieder am Rand (der Randregion) interessiert, welcher so aussieht: Weiterlesen

Fraktale Teil 3 – 3. Juliamengen

< Fraktale Teil 3 – 2. Komplexe Iteration

Juliamenge für c = - 0.8 + 0.156i

Juliamenge für c = - 0.8 + 0.156i

Die ausgefüllte Juliamenge, bezeichnet mit Kc, wird durch Iterationen der Form

zn+1 = zn2 + c

beginnend mit z0 erzeugt. Der Parameter n durchschreitet dabei die Werte von 0 bis j.
Man kann für jeden Anfangspunkt z0 berechnen ob er zu Kc gehört oder nicht. Wie bestimmen wir, ob ein Punkt z0 zu Kc gehört oder nicht?

Wenn der Punkt zj der Folge nicht ins Unendliche strebt, gehört zzu Kc ansonsten gehört z nicht zu Kc.

Die Bedingung ‚ins Unendliche streben‘ braucht natürlich noch eine Erläuterung.

Was wir hier eigentlich messen und was nicht gegen Unendlich streben soll, ist die Distanz des Punktes zvom Ursprung, d.h. sein Betrag |z|.
Es kann gezeigt werden, dass wenn irgendein Mitglied zder Folge weiter weg als 2 vom Ursprung ist (also sein Betrag grösser als 2 ist), die Distanz (der Betrag) aller folgenden Mitglieder der Folge ohne Grenze wachsen wird. Den mathematischen Beweis dazu finden Sie hier.

Alles was wir tun müssen ist demnach zu berechnen, ob znweiter weg als 2 vom Ursprung ist, d.h. ob sein Betrag grösser als 2 ist. Ist dies der Fall, brechen wir die Berechnung ab und bestimmen, dass z0 nicht zu Kgehört. Wir nennen diese Bedingung unser Flucht-Kriterium. Weiterlesen

Fraktale Teil 3 – 2. Komplexe Iteration

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Um die Mandelbrot- und die Juliamenge zu generieren benutzen wir die folgenden, relativ einfache Formel:

z → z2 + c

z und c sind komplexe Zahlen. Das Zeichen → deutet Iteration an, wir starten mit einer (frei wählbaren) komplexen Zahl z0 und generieren  z1, z2, z3, etc wie folgt:

z1 = z02 + c
z2 = z12 + c
z3 = z22 + c

oder allgemein

zn+1 = zn2 + c

Man kann dies auch schreiben nach Realteil und Imaginärteil aufgeschlüsselt:

x + iy → (x + iy)² + (a + ib)

oder

x + iy →x² + 2ixy – y² +a + ib

x + iy → (x²  – y² +a) +  (2xy+ b)i

also

x → x2 – y2 + a

und

y → 2⋅x⋅y + b

Wir sind nun soweit, dass wir die Mandelbrotmenge und die Juliamenge betrachten können. Wir beginnen mit der Juliamenge.

(Quelle: Benoit Mandelbrot†-Yale)

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Fraktale Teil 3 – 1. Komplexe Zahlen

Nachdem wir in den Teilen 1 und zwei Fraktale und wie sie generiert werden kennengelernt haben und bevor wir uns solchen Dingen wie Mandelbrotmengen und Juliamengen zuwenden können. müssen wir uns ein wenig mit komplexen Zahlen beschäftigen.

Die reellen Zahlen sind uns allen bekannt. Es sind dies alle Zahlen, denen wir tagtäglich begegnen, wie zum Beispiel 1, oder -1, ¼, oder π.

Eine einfache Gleichung bringt uns aber enorme Probleme. Was ist die Lösung von:

x²+1 = 0?

Beim Auflösen sehen wir, dass x²=-1 wird was schliesslich zu x=±√-1 ergibt. Nun hat aber die √-1 unter den reellen Zahlen keine Lösung.

Findige Mathematiker haben das Problem gelöst indem sie deklarierten, die Lösung der obigen Gleichung sei, i=√-1 mit i²=-1 und nannten i die imaginäre Einheit.

Daraus wurde dann die komplexe Zahl, z, definiert mit

z = a + b*i

a,b sind dann reelle Zahlen und i die  imaginäre Einheit. Dabei wir a der Realteil, oder Re(z), genannt, und b der Imaginärteil, oder Im(z). Es gilt also Re(z)=a und Im(z)=b.

Beispiel: 8.32 + 3i ist eine komplexe Zahl mit Re(z)=8.32 und Im(z)=3.

Komplexe Zahl, dargestellt als Vektor in der komplexen Ebene mit kartesischen Koordinaten

Komplexe Zahl, dargestellt als Vektor in der komplexen Ebene mit kartesischen Koordinaten

Komplexe Zahlen können grafisch in einer (komplexen) Ebene dargestellt werden. So wird die komplexe Zahl zu einem Vektor mit a gleich der x- und b gleich der y-Koordinate.

Die komplexe Ebene heisst auch z-Ebene oer Argand Ebene, nach Jean-Robert Argand.

Vektoren sind durch ihren Betrag und ihre Richtung charakterisiert. Deshalb wird für die Darstellung einer komplexen Zahl in der z-Ebene oft auch eine andere Form der Darstellung gewählt, nämlich die sogenannte Polarform. Weiterlesen

Fraktale Teil 2 – 3. Box-Count Dimension

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Wir sahen, dass weder die Länge der Koch-Kurve, die gegen unendlich strebt, noch die Fläche der Koch-Kurve, die gegen Null strebt, sinnvolle Grössen sind um die Koch-Kurve zu beschreiben. Ein allgemeinerer Ansatz der Messung wird uns zur Idee der Box-Count (etwa: Quadratzähl- oder Würfelzähl-Dimension, auch unter dem Namen Minkowski-Dimension bekannt).

Anstelle dass wir die Koch-Kurve mit Liniensegmenten oder mit Dreiecken approximieren, verwenden wir Quadrate.

Messen der Koch-Kurve mit Quadraten der Seitenlänge r

Messen der Koch-Kurve mit Quadraten der Seitenlänge r

Gewiss werden kleinere Quadrate mehr Einzelheiten auffangen und wird uns eine bessere Beschreibung der Koch-Kurve liefern. Wenn wir N(r) Quadrate der Seitenlänge benötigen um die Koch-Kurve abzudecken, dann approximieren

  • N(r)*r die Länge; und
  • N(r)*rdie Fläche der

Koch-Kurve. Die Art wie N(r) sich mit r ändert sagt uns etwas über die Komplexität der Form. Weiterlesen

Fraktale Teil 2 – 2. Ineffektive Wege Fraktale zu messen: Fläche

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Hilbert entwarf eine Kurve, die so stark mäandriert, dass sie das Einheitsquadrat ausfüllt. Die ersten sechs Schritte zu ihrer Konstruktion sehen Sie hier:

Hilberts Kurve die eine Ebene ausfüllt

Hilberts Kurve die eine Ebene ausfüllt

Also kann eine Kurve, die wir als 1-dimenisonales Objekt betrachten, so gewunden sein, dass sie ein Quadrat ausfüllt, welches wir als 2-dimensionales Objekt betrachten. Vielleicht gehört die Koch-Kurve ja zu dieser Kategorie? Wir können es ja probieren. Weiterlesen

Fraktale Teil 2 – 1. Ineffektive Wege Fraktale zu messen: Länge

Die Grafik zeigt die Koch-Kurve und einige ihrer Verwandten. Von oben Links bis unten Rechts wird das Bild ‚unschärfer‘ (fuzzy). Gibt es einen Weg die Differenz zwischen den Bildern zu quantifizieren?

Koch-Kurve und ihre Verwandten

Koch-Kurve und ihre Verwandten

Man könnte es mit dem Konzept der Länge versuchen. Eine bekannte Methode die Länge einer Kurve zu messen ist, die Kurve mit Liniensegmenten zu approximieren und nach einem Grenzwert zu suchen, während die Liniensegmente kleiner und kleiner werden.

Dies funktioniert fantastische zum Beispiel beim Kreis vom Radius, r, von 1: Weiterlesen